Algarismos Romanos

O sistema de números romanos (ou numeração romana) surgiu na Roma Antiga, e atribuí valores a letras maiúsculas. Freqüentemente, é encontrado em:

• Nomes de papas e reis.
• Séculos
• Em textos de teatro, Bíblias, Leis.
• Na contagem de Olimpíadas, congressos, festivais.

                                               Regras de Numeração

Basicamente, o uso e entendimento são fáceis, mas deve-se ter cuidado com algumas regras de utilização. São elas:

      1.     Algarismos de igual ou menor valor dispostos à direita são somados ao algarismo de maior valor.

Ex:

                                      i.            XI – 11

                                      ii.            II – 2

                                      iii.            III - 3

                                      iv.            VI – 6

                                    v.            LV – 55

                                     vi.            MX - 1010

2.       Algarismos de menor valor dispostos a esquerda são subtraídos do algarismo de maior valor.

Ex:

                                      i.            IV – 4

                                      ii.            IX – 9

                                     iii.            XL - 40

                                       iv.            XC – 90

                                        v.            CD – 400

                                        vi.            CM – 900

                                      vii.            XM – 990

3.      Algarismos de igual valor não podem ser dispostos lado a lado mais de três vezes.

Ex: Para representar 30, pode-se usar XXX. Porém, para representar 40, deve-se usar XL. E nunca, XXXX.

4.      Para números elevados, pode ser utilizado um travessão por cima da numeração romana, indicando uma multiplicação por 1000.

Respostas dos exercícios de Probabilidade

Seguem as respostas dos exercícios sobre o assunto Probabilidade.

RESPOSTAS:

1. Item número 4.

2. Item número 3.

3. Item número 3.

4. Item número 4.

5.        a) 25/54

          b) 25/108

          c) 25/162

          d) 25/1296

          e) 1/1296

          f) 5/162

          g) 25/648

6.       a) 8/15

          b) 8/65

          c) 3

          d) 4/91

7.       a) 50.063.860

          b) em ambos: 1/50.063.860

          c) 28

          d) Não

8. 1,445%

9. Letra b.

10. a

                        

Lista de exercícios sobre Probabilidade.

                                           Exercícios e Respostas

                                          Assunto: Probabilidade.

Questão 1: (PUC-SP 2010) - Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas condições, a probabilidade de que esse aluno seja aprovado em pelo menos uma dessas Universidades é de:

1.   70%
2.    68%
3.    60%
4.    58%
5.    52%

Questão 2: (PUC-RIO 2010) - Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda?

1. 1/8
2.   2/9
3.   1/4
4.   1/3
5.   3/8

Questão 3: (PUC-RIO 2008) - No jogo de Lipa sorteia-se um número entre 1 e 600 (cada número possui a mesma probabilidade). A regra do jogo é: se o número sorteado for múltiplo de 6 então o jogador ganha uma bola branca e se o número sorteado for múltiplo de 10 então o jogador ganha uma bola preta. Qual a probabilidade de o jogador não ganhar nenhuma bola?

1. 13/17
2.  11/15
3.  23/30
4.   2/3
5.   1/2

Questão 4: (UFPR 2010) - Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é 1/25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/4, e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/40. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores é de:

1.  1,0%
2.  2,4%
3.  4,0%
4.  3,4%
5.  2,5%

 Questão 5: Cinco dados são jogados simultaneamente. Determine a probabilidade de se obter:

a) um par ( os demais diferentes );

b) dois pares diferentes ( o quinto diferente dos pares);

c) uma trinca ( os demais diferentes );

d) uma quadra ( o quinto diferente );

e) uma quina;

f) uma sequência;

g) um "full hand", isto é, uma trinca e um par (par diferente da trinca).

Questão 6: Em um torneio há 16 jogadores de habilidades diferentes. Eles são sorteados em grupos de 2, que jogam entre si. Os perdedores são eliminados e os vencedores jogam entre si, novamente divididos em grupos de 2, sem novo sorteio, até restar só um jogador, que é declarado campeão. Suponha que não haja “zebras” (ou seja, o jogador de habilidade superior sempre vence)

a) Qual é a probabilidade de o segundo melhor jogador ser vice-campeão do torneio?

b) Qual é a probabilidade de o quarto melhor jogador ser vice-campeão do torneio?

c) Qual é o número máximo de partidas que o décimo melhor jogador consegue disputar?

d) Qual é a probabilidade de ele disputar esse número máximo de partidas?

Questao 7: No jogo da Mega-Sena são sorteados, a cada extração, 6 dos números de 1 a 60.



       a) Quantos são os resultados possíveis da Mega-Sena?

       b) Um apostador aposta nos números 2, 7, 21, 34, 41 e 52. Qual é a sua chance de ganhar? E se ele tivesse apostado nos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

 c) Quantas vezes maiores são as chances de ganhar de quem aposta em 8 números?

 d) Suponha que o número 17 não é sorteado há muito tempo. Isto modifica as chances de ele ser sorteado da próxima vez?

Questão 8:  (VUNESP) - A eficácia de um teste de laboratório para checar certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa doença é de 90%. Esse mesmo teste, porém, produz um falso-positivo (acusa positivo em quem não tem comprovadamente a doença) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em que a incidência dessa doença é de 0,5%, seleciona-se uma pessoa ao acaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de que o resultado desse teste venha a ser positivo?

Questão 9:  (UNI- RIO) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um único penalti, a probabilidade de todos errarem é igual a:
 
a) 3%
b) 5%
c) 17%
d) 20%
e) 25%

Questão 10: Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma dos pontos ser maior do que 4 é:
 
a) 3/5
b) 2;5
c) 1/2
d) 1/3
e) 2/3

Pegadinhas Matemáticas!

O feriado mal começou e só para não enferrujar nosso raciocínio, lá vão duas pegadinhas matemáticas para ver quem é bom nisso!

Quem souber alguma das respostas, pode deixar nos comentários seu palpite que em breve a resposta será dada!

Primeira: Desafio das pernas.

Há um ônibus com 7 garotas.
Cada garota tem 7 sacolas.
Dentro de cada sacola há sete gatos grandes.
Cada gato grande tem 7 gatos pequenos.
Todos os gatos têm 4 pernas cada um.
Pergunta: Quantas pernas há no ônibus?

Segunda: Desafio do buraco.

Dois homens cavam um buraco em quatro dias. Quantos dias eles levariam para cavar meio buraco?

Lógica Matemática - Conceitos de Proposiçoes.

Lembrando que, os breves assuntos abordados neste blog não são completamente inteiros, havendo livros específicos e aulas específicas sobre o assunto. Para maiores dúvidas sobre o assunto de Lógica Matemática, poderão ser comentadas as dúvidas ou mandadas via email para esclarecimento.

Iniciando o assunto de Lógica Matemática, começamos pelo conceito de proposições.

O que são proposições?

Chama-se de proposição todo o conjunto de símbolos, palavras ou números que conseguem admitir um sentido completo, ou exprimir fatos de forma a seguir dois princípios:

I)                    PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo.

II)                  PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição só pode ser verdadeira ou falsa, e nunca um terceiro caso.

Logo, toda proposição só pode ter um sentido: O da verdade, que denotamos pela letra (V), ou da falsidade, que denotamos pela letra (F). Veja os exemplos a seguir:

1.       O número 8 é par.

2.       Joinville é a Capital de Santa Catarina.

3.       Vermelho é uma cor primária.

4.       O Sol gira em torno da Terra.

Acima, vemos que as proposições 2 e 4 tem o valor lógico da falsidade(F) e as proposições 1 e 3 tem o valor lógico da verdade(V).

As proposições que acabamos de ver são ditas proposições simples, por possuírem apenas uma informação. As proposições simples geralmente são denotadas por letras minúsculas, como p,q,r,s...

Exemplo:

1.       q: Pedro é careca.

2.       r: Pedro mora no Rio de Janeiro.

Mas além das proposições simples, existem também as proposições compostas que são a combinação de duas ou mais proposições simples. Estas são denotadas por letras maiúsculas como P,Q,R,S.

Exemplo:

1.       Q. Pedro é careca e mora no Rio de Janeiro.

2.       R. Se Pedro é careca, então mora no Rio de Janeiro.

É importante dizer que uma proposição composta P é formada por proposições simples p,q,r...E assim é denotado como P(q,r,s...). Usando de exemplo, os exemplos anteriores, temos então as proposições compostas denotadas como Q(q,r) e R(q,r).

Ainda, como em qualquer frase de Português e equações matemáticas existem conectivos, na Lógica Matemática também iram existir. Como o e, ou, não, entro outros. Mas o assunto de conectivos deverá ser abordado em outra postagem.

Biografía de Leonard Euler.

Leonard Euler nasceu em 15 de Abril de 1707 em Basiléia, na Suíça. Filho do pastor calvinista Paul Euler e de Marguerite Brucker, Leonard ganhou gosto pela matemática desde pequeno quando começará a ter fascinio pela disciplina com as liçoes e aulas que seu pai lhe dava, visto que pouco aprendia Matemática na escola.

Sem dar atençao para seu prodigioso talento matemático, determinou que estudaria Teologia e entrou para a Universidade de Basíleia, aos 14 anos, com o conceito de seu pai. Em 1723, Euler recebe o grau de Mestre em Filosofia com uma dissertação comparando Descartes com Newton. Dentro da Universidade, Euler conheceu Jean Bernoulli, matemático que ensino seu pai, ao qual descobriu seu potencial para Matemática. Em nota, o próprio Euler escreveu:

“... cedo descobri uma oportunidade de ser apresentado a um famoso professor Jean Bernoulli... Na verdade ele estava muito ocupado e então recusou dar-me lições privadas; mas deu-me conselhos muito importantes para eu começar a ler e a estudar livros mais difíceis de Matemática; e se me deparasse com algum obstáculo ou dificuldade, tinha permissão para visitá-lo todas as tardes de domingo que ele, gentilmente, explicar-me-ía tudo aquilo que eu não consegui-se entender." (citado por O'Connor e Robertson em www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euler.html).

Euler estava destinado a se tornar pastor, mas Jean Bernoulli interferiu e convenceu seu pai que o garoto possuía grandes talentos para a área da Matemática. Em 1726 terminou os estudos na Universidade de Basiléia e em 1727 foi nomeado para o Grande Prêmio da Academia de Paris com um trabalho sobre mastros de navios. Neste ficou em segundo lugar, entretanto, posteriormente Euler ganhou o premio doze vezes.

Na Suíça não havia muito trabalho para matemáticos em início de carreira. Quando se soube que a Academia de S. Petersburgo procurava novos colaboradores, matemáticos de toda a Europa viajaram até a Rússia, incluindo Daniel e Nicolaus Bernoulli. Na época, Euler procurava também  um lugar acadêmico e por recomendação de Nicolaus, é chamado para a Academia de S. Petersburgo. Euler aceita, mas não de imediato.

 Antes resolve viajar para a Rússia na Primavera seguinte por dois motivos: precisava de tempo para estudar os tópicos do seu novo trabalho e queria tentar conquistar um lugar vago na Universidade de Basileia, como professor de Física. Para se candidatar, Euler escreveu um artigo sobre acústica. Apesar da qualidade, não foi escolhido para o cargo. O fato de estar com apenas 19 anos terá tido influência.

 Em 1727 Euler decide então entrar para a Academia de S. Petersburgo, mas no mesmo ano, Nicolaus Bernoulli morre e deixa vaga a posição de assistente em matemática, que Euler a ocupa. Também decide aceitar um trabalho extra como médico na Marinha Russa. Com o novo cargo, viu o seu orçamento aumentar, o que lhe possibilitou trabalhar mais na sua pesquisa Matemática e constituir família. Em 7 de Janeiro de 1734, Casou-se com Katharin Gsell e tiveram 13 filhos mas apenas 5 sobreviveram à infância.

Desde 1735, Euler sofria de alguns problemas de saúde, como febres altas. Em 1738, perdeu a visão do olho direito. Mas tal problema não diminuiu em nada seus trabalhos com a Matemática. Conta-se que seu lápis o superava em inteligência tal era a velocidade com que escrevia.

Durante os anos seguintes, Euler transforma a Matemática e a Física e produz trabalhos fundamentais em teoria dos números, séries, cálculo de variações, mecânica, entre outros. Além disso, em 1735 Euler já havia resolvido um problema que lhe deu fama mundial – o chamado “problema da Basileia”.

Desde cedo Euler ganhou reputação internacional. Euler nunca teve problemas em produzir trabalhos de diferentes gêneros e geralmente escrevia em latim, mas também em francês, embora a sua língua de origem fosse o alemão. Depois de ganhar por duas vezes, o Grande Prêmio da Academia de Paris, Euler recebeu um convite de Frederico, o Grande para fazer parte da Academia de Berlim. De início recusou o convite, mas logo depois resolveu aceitar. 

Deixou S. Petersburgo em 1741 e no mesmo ano já assumiu o cargo de diretor do departamento de Matemática, onde escreveu mais de 380 artigos e permaceu por 25 anos. Euler contribuiu muito para a Academia de Berlim com diversos trabalhos científicos. Mas depois de muitos conflitos com Frederico, que insistia em implicar com Euler, e insatisfeito com a situação, Euler retorna para a Rússia em 1766 e volta para a Academia de S.Petersburgo.

Durante esse ano, devido a um problema de cataratas, estava a perder a visão do olho esquerdo. Começou a preparar-se para a cegueira escrever com giz numa lousa e ditando para uns de seus filhos. Em 1771, perdeu todos os seus bens, exceto os manuscritos de Matemática, num incêndio em sua casa. No mesmo ano é operado, o que lhe restitui a visão por mais um tempo. Mas como não tomou os devidos cuidados médicos, ficou completamente cego.

Brilhantemente, continuou com os seus projetos científicos e quase metade do seu trabalho foi concluído após a cegueira, contando com a ajuda de várias pessoas. A sua capacidade para o cálculo mental era tão surpreendente que conseguia fazer, de cabeça, cálculos que outros matemáticos tinham dificuldades de fazer no papel. Suas pesquisas e trabalhos continuaram até 1783, onde aos 76 anos faleceu enquanto tomava chá com um dos seus netos.

Yushkevich (1906-1993) descreve o dia da sua morte:

"No dia 18 de Setembro de 1783 Euler passa a primeira metade do dia como de costume. Dá uma lição de Matemática a um dos seus filhos, faz alguns cálculos com giz em dois quadros sobre o movimento de balões; depois discute com Lexell e Fuss a descoberta recente do planeta Urano. Perto das cinco horas da tarde ele sofre uma hemorragia cerebral e murmura somente "Estou a morrer" antes de perder a consciência. Morre por volta das onze horas da noite." (citado por  OŽConnor e Robertson em www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euler.html).

Software para Funçoes Trigonométricas.

Pessoal, esse Software é feito para quem tem um pouco de dificuldade em encontrar valores para funções como: Seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. No mesmo Software da também para calcular as razoes entre uma função e outra.
Use-o para treinar suas habilidades, tirar dúvidas, e te auxiliar em um exercício ou outro. Mas é bom lembrar que, é fundamental você saber como funciona o Triângulo Retangulo e suas funções sem se basear somente no Software. Lembrando que é uma ferramenta de auxilio, e não de uso diário né galera! Nada melhor que saber naturalmente, de letra!

Segue então o link do Software: Funções Trigonométricas.